Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{3}$ ; $x = 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{3}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$

Этап 1.2.3

Упростим ${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1 {(3 - (1))}^{3}$

Этап 1.2.3.2

Умножим ${(3 - (1))}^{3}$ на $1$ .

$y = {(3 - (1))}^{3}$

Этап 1.2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = {(3 - 1)}^{3}$

Этап 1.2.3.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$y = 2^{3}$

Этап 1.2.3.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y = 8$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 8$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = {(3 - x)}^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{3}] + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 3 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 - x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 - x$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $3 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2} \cdot 1) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3.7

Умножим $- 3$ на $1$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + {(3 - x)}^{3} (4 x^{3})$

Этап 2.3.9

Перенесем $4$ влево от ${(3 - x)}^{3}$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + 4 \cdot {(3 - x)}^{3} x^{3}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ из $x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + 4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем множитель $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ из $x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2})$ .

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$

Этап 2.4.1.2

Вынесем множитель $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ из $4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$ .

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x^{3} {(3 - x)}^{2} (4 (3 - x))$

Этап 2.4.1.3

Вынесем множитель $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ из $x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x^{3} {(3 - x)}^{2} (4 (3 - x))$ .

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.3

Перепишем ${(3 - x)}^{2}$ в виде $(3 - x) (3 - x)$ .

$x^{3} ((3 - x) (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.4

Развернем $(3 - x) (3 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (3 (3 - x) - x (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$x^{3} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.5.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{3} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.5.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.5.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.5.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.5.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x + x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.5.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$x^{3} (9 - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} \cdot 9 + x^{3} (- 6 x) + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Перенесем $9$ влево от $x^{3}$ .

$(9 \cdot x^{3} + x^{3} (- 6 x) + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.7.3

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{3 + 2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.7.3.2

Добавим $3$ и $2$ .

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.8

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Перенесем $x$ .

$(9 x^{3} - 6 (x \cdot x^{3}) + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.8.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(9 x^{3} - 6 (x^{1} x^{3}) + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(9 x^{3} - 6 x^{1 + 3} + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.8.3

Добавим $1$ и $3$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Этап 2.4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 4 \cdot 3 + 4 (- x))$

Этап 2.4.9.2

Умножим $4$ на $3$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 12 + 4 (- x))$

Этап 2.4.9.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 12 - 4 x)$

Этап 2.4.10

Вычтем $4 x$ из $- 3 x$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 7 x + 12)$

Этап 2.4.11

Развернем $(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 7 x + 12)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$9 x^{3} (- 7 x) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 \cdot - 7 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.2.1

Перенесем $x$ .

$9 \cdot - 7 (x \cdot x^{3}) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$9 \cdot - 7 (x^{1} x^{3}) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 \cdot - 7 x^{1 + 3} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$9 \cdot - 7 x^{4} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.3

Умножим $9$ на $- 7$ .

$- 63 x^{4} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.4

Умножим $12$ на $9$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{4} x - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.6

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.6.1

Перенесем $x$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 (x \cdot x^{4}) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.6.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 (x^{1} x^{4}) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{1 + 4} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.6.3

Добавим $1$ и $4$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{5} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.7

Умножим $- 6$ на $- 7$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.8

Умножим $12$ на $- 6$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{5} x + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.10

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.10.1

Перенесем $x$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.10.2

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.10.3

Добавим $1$ и $5$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{6} + x^{5} \cdot 12$

Этап 2.4.12.11

Перенесем $12$ влево от $x^{5}$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{6} + 12 x^{5}$

Этап 2.4.13

Вычтем $72 x^{4}$ из $- 63 x^{4}$ .

$- 135 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 7 x^{6} + 12 x^{5}$

Этап 2.4.14

Добавим $42 x^{5}$ и $12 x^{5}$ .

$- 135 x^{4} + 108 x^{3} - 7 x^{6} + 54 x^{5}$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = 1$ .

$- 135 {(1)}^{4} + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 135 \cdot 1 + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 135$ на $1$ .

$- 135 + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Этап 2.6.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$- 135 + 108 \cdot 1 - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Этап 2.6.1.4

Умножим $108$ на $1$ .

$- 135 + 108 - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Этап 2.6.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$- 135 + 108 - 7 \cdot 1 + 54 {(1)}^{5}$

Этап 2.6.1.6

Умножим $- 7$ на $1$ .

$- 135 + 108 - 7 + 54 {(1)}^{5}$

Этап 2.6.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$- 135 + 108 - 7 + 54 \cdot 1$

Этап 2.6.1.8

Умножим $54$ на $1$ .

$- 135 + 108 - 7 + 54$

Этап 2.6.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Добавим $- 135$ и $108$ .

$- 27 - 7 + 54$

Этап 2.6.2.2

Вычтем $7$ из $- 27$ .

$- 34 + 54$

Этап 2.6.2.3

Добавим $- 34$ и $54$ .

$20$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $20$ и координаты заданной точки $(1, 8)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = 20 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 8 = 20 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $20 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 8 = 0 + 0 + 20 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 8 = 20 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 8 = 20 x + 20 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $20$ на $- 1$ .

$y - 8 = 20 x - 20$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$y = 20 x - 20 + 8$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 20$ и $8$ .

$y = 20 x - 12$

Этап 4