Математический анализ Примеры

$y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2} = 0$ , $(0, 4)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = y^{2}$ и $g (x) = e^{2 x}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$y^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$y^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2.6

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$y^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2.8

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$y^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2.9

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$2 \cdot y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2.10

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - (2 x)$

Этап 1.2.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - 2 x$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Изменим порядок членов.

$2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$

Этап 1.2.5.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$

Этап 1.3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y' = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Изменим порядок множителей в $2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = 0$

Этап 1.5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вычтем $2 y^{2} e^{2 x}$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x}$

Этап 1.5.2.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$2 y y' e^{2 x} - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y' e^{2 x} - 4 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y' e^{2 x}$ .

$2 y' (y e^{2 x}) - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 4 y'$ .

$2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2 = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Этап 1.5.4

Разделим каждый член $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ на $2 (y e^{2 x} - 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Разделим каждый член $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ на $2 (y e^{2 x} - 2)$ .

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Этап 1.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Этап 1.5.4.2.2

Сократим общий множитель $y e^{2 x} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Этап 1.5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Этап 1.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{2} e^{2 x}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Этап 1.5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Этап 1.5.4.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Этап 1.5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Этап 1.5.4.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Этап 1.5.4.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{x}{y e^{2 x} - 2}$

Этап 1.5.4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x} + x}{y e^{2 x} - 2}$

Этап 1.5.4.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2} e^{2 x}$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) + x}{y e^{2 x} - 2}$

Этап 1.5.4.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)}{y e^{2 x} - 2}$

Этап 1.5.4.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

Этап 1.5.4.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.2.5.1

Перепишем $- (y^{2} e^{2 x} - x)$ в виде $- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

Этап 1.5.4.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 0$ в $y = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$- \frac{y^{2} e^{2 (0)} - (0)}{y e^{2 (0)} - 2}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $4$ .

$- \frac{{(4)}^{2} e^{2 (0)} - (0)}{(4) \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Перепишем $4^{2} e^{2 (0)}$ в виде ${(4 e^{0})}^{2}$ .

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - (0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Этап 1.7.3.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - 0^{2}}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Этап 1.7.3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4 e^{0}$ и $b = 0$ .

$- \frac{(4 e^{0} + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Этап 1.7.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.4.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{(4 \cdot 1 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Этап 1.7.3.4.2

Умножим $4$ на $1$ .

$- \frac{(4 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Этап 1.7.3.4.3

Добавим $4$ и $0$ .

$- \frac{4 (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Этап 1.7.3.4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{4 (4 \cdot 1 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Этап 1.7.3.4.5

Умножим $4$ на $1$ .

$- \frac{4 (4 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Этап 1.7.3.4.6

Добавим $4$ и $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Этап 1.7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $2$ на $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{0} - 2}$

Этап 1.7.4.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1 - 2}$

Этап 1.7.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 - 2}$

Этап 1.7.4.4

Вычтем $2$ из $4$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{2}$

Этап 1.7.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{16}{2}$

Этап 1.7.5.2

Разделим $16$ на $2$ .

$- 1 \cdot 8$

Этап 1.7.5.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 8$ и координаты заданной точки $(0, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 4 = - 8 x$

Этап 2.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = - 8 x + 4$

Этап 3