Математический анализ Примеры

$2 x^{2} + y^{3} = 5 y + 3 x$ , $(2, 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 y + 3 x)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$4 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 x + 3 y^{2} y'$

Этап 1.2.4

Изменим порядок членов.

$3 y^{2} y' + 4 x$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $5 y + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5 y' + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y' + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 y' + 3 \cdot 1$

Этап 1.3.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$5 y' + 3$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 y^{2} y' + 4 x = 5 y' + 3$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $5 y'$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' + 4 x - 5 y' = 3$

Этап 1.5.2

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' - 5 y' = 3 - 4 x$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y' - 5 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 5 y' = 3 - 4 x$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5 = 3 - 4 x$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5$ .

$y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$

Этап 1.5.4

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ на $3 y^{2} - 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ на $3 y^{2} - 5$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Этап 1.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Сократим общий множитель $3 y^{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Этап 1.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} - \frac{4 x}{3 y^{2} - 5}$

Этап 1.5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 2$ в $y = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 y^{2} - 5}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $2$ .

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 {(2)}^{2} - 5}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{3 - 8}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

Этап 1.7.3.2

Вычтем $8$ из $3$ .

$\frac{- 5}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

Этап 1.7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{- 5}{3 \cdot 4 - 5}$

Этап 1.7.4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{- 5}{12 - 5}$

Этап 1.7.4.3

Вычтем $5$ из $12$ .

$\frac{- 5}{7}$

Этап 1.7.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{7}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{5}{7}$ и координаты заданной точки $(2, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{5}{7} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = - \frac{5}{7} x - \frac{5}{7} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{5}{7}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} - \frac{5}{7} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- \frac{5}{7} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + 2 (\frac{5}{7})$

Этап 2.3.1.5.2

Объединим $2$ и $\frac{5}{7}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{2 \cdot 5}{7}$

Этап 2.3.1.5.3

Умножим $2$ на $5$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{10}{7}$

Этап 2.3.1.6

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$y - 2 = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 2 \cdot 7}{7}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $2$ на $7$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 14}{7}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $10$ и $14$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{24}{7}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{5}{7} x) + \frac{24}{7}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{5}{7} x + \frac{24}{7}$

Этап 3