Математический анализ Примеры

$f (x) = - 3 \cos (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $\frac{3}{4} \cdot π$ вместо $x$ .

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Этап 1.2.2

Упростим $- 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $π$ .

$y = - 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 1.2.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$y = - 3 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Этап 1.2.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 1.2.2.4

Умножим $- 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y = 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.2.4.2

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{3}{4} π$ и $y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \cos (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 3 (- \sin (x))$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$3 \sin (x)$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

$3 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $π$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 2.5.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$3 \sin (\frac{π}{4})$

Этап 2.5.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.4

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ и координаты заданной точки $(\frac{3}{4} \cdot π, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ и $x$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

Этап 3.3.1.5

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} (3 π)}{2 \cdot 4}$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Этап 3.3.1.5.3

Умножим $2$ на $4$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8}$

Этап 3.3.2

Добавим $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы записать $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.3.3.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 3.3.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Этап 3.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Этап 3.3.3.4

Умножим $4$ на $3$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 12 \sqrt{2}}{8}$

Этап 3.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 \sqrt{2} π$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) + 12 \sqrt{2}}{8}$

Этап 3.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $12 \sqrt{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})}{8}$

Этап 3.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

Этап 3.3.3.8

Перепишем $- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ в виде $- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

Этап 3.3.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

Этап 3.3.3.10

Изменим порядок членов.

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

Этап 4