Математический анализ Примеры

$y = \ln (x^{2} - 8)$ , $(3, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 8$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x + 0)$

Этап 1.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x)$

Этап 1.2.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2} - 8}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 8} x$

Этап 1.2.4.3

Объединим $\frac{2}{x^{2} - 8}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 8}$

Этап 1.3

Найдем производную в $x = 3$ .

$\frac{2 (3)}{{(3)}^{2} - 8}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6}{3^{2} - 8}$

Этап 1.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{6}{9 - 8}$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $8$ из $9$ .

$\frac{6}{1}$

Этап 1.4.3

Разделим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $6$ и координаты заданной точки $(3, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 6 \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 6 \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 6 \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.2

Упростим $6 \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 6 x + 6 \cdot - 3$

Этап 2.3.2.2

Умножим $6$ на $- 3$ .

$y = 6 x - 18$

Этап 3