Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} {(3 - x)}^{4}$ ; $x = 2$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Этап 1.2.3

Упростим ${(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y = 8 {(3 - (2))}^{4}$

Этап 1.2.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = 8 {(3 - 2)}^{4}$

Этап 1.2.3.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$y = 8 \cdot 1^{4}$

Этап 1.2.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$y = 8 \cdot 1$

Этап 1.2.3.5

Умножим $8$ на $1$ .

$y = 8$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 8$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = {(3 - x)}^{4}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{4}] + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 3 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 - x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 - x$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $3 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \cdot 1) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.7

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} (3 x^{2})$

Этап 2.3.9

Перенесем $3$ влево от ${(3 - x)}^{4}$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 \cdot {(3 - x)}^{4} x^{2}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ из $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем множитель $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ из $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3})$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$

Этап 2.4.1.2

Вынесем множитель $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ из $3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$

Этап 2.4.1.3

Вынесем множитель $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ из $x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4) + 3 (3 - x))$

Этап 2.4.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (- 4 x + 3 (3 - x))$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = 2$ .

${(2)}^{2} {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 {(3 - 2)}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Этап 2.6.1.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$4 \cdot 1^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Этап 2.6.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$4 \cdot 1 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Этап 2.6.1.5

Умножим $4$ на $1$ .

$4 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Этап 2.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$4 (- 8 + 3 (3 - (2)))$

Этап 2.6.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 (- 8 + 3 (3 - 2))$

Этап 2.6.2.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$4 (- 8 + 3 \cdot 1)$

Этап 2.6.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$4 (- 8 + 3)$

Этап 2.6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Добавим $- 8$ и $3$ .

$4 \cdot - 5$

Этап 2.6.3.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$- 20$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 20$ и координаты заданной точки $(2, 8)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 20 \cdot (x - (2))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 20 \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 8 = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 8 = - 20 x - 20 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 20$ на $- 2$ .

$y - 8 = - 20 x + 40$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$y = - 20 x + 40 + 8$

Этап 3.3.2.2

Добавим $40$ и $8$ .

$y = - 20 x + 48$

Этап 4