Математический анализ Примеры

$y = - 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ ; $(1, - 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = - 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.3.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.4.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- x^{- 2})$

Этап 1.4.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 1.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$- 9 x^{2} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.6

Найдем производную в $x = 1$ .

$- 9 {(1)}^{2} - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 9 \cdot 1 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.7.1.2

Умножим $- 9$ на $1$ .

$- 9 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.7.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$- 9 - \frac{2}{1} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.7.1.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 9 - 1 \cdot 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.7.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.7.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.1.7

Умножим $2$ на $1$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2}$

Этап 1.7.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Запишем $- 9$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 9}{1} - 2 - \frac{1}{2}$

Этап 1.7.2.2

Умножим $\frac{- 9}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

Этап 1.7.2.3

Умножим $\frac{- 9}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

Этап 1.7.2.4

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} - \frac{1}{2}$

Этап 1.7.2.5

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 1.7.2.6

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 1.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 9 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 1.7.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{- 18 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 1.7.4.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 18 - 4 - 1}{2}$

Этап 1.7.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Вычтем $4$ из $- 18$ .

$\frac{- 22 - 1}{2}$

Этап 1.7.5.2

Вычтем $1$ из $- 22$ .

$\frac{- 23}{2}$

Этап 1.7.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{23}{2}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{23}{2}$ и координаты заданной точки $(1, - 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = - \frac{23}{2} \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 2 = 0 + 0 - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 2 = - \frac{23}{2} x - \frac{23}{2} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{23}{2}$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} - \frac{23}{2} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- \frac{23}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + 1 (\frac{23}{2})$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $\frac{23}{2}$ на $1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + \frac{23}{2}$

Этап 2.3.1.6

Перенесем $23$ влево от $x$ .

$y + 2 = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 4}{2}$

Этап 2.3.2.5.2

Вычтем $4$ из $23$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{19}{2}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{23}{2} x) + \frac{19}{2}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{23}{2} x + \frac{19}{2}$

Этап 3