Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{20 x}{x^{2} - 5}$ ; $(5, 5)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 5$ и $y = 5$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{20 x}{x^{2} - 5}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - 5$ .

$20 \frac{(x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 \frac{(x^{2} - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $x^{2} - 5$ на $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$20 \frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.9

Объединим $20$ и $\frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$ .

$\frac{20 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{20 (- x^{2}) + 20 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Умножим $- 1$ на $20$ .

$\frac{- 20 x^{2} + 20 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.10.2.2

Умножим $20$ на $- 5$ .

$\frac{- 20 x^{2} - 100}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.10.3

Вынесем множитель $20$ из $- 20 x^{2} - 100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1

Вынесем множитель $20$ из $- 20 x^{2}$ .

$\frac{20 (- x^{2}) - 100}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.10.3.2

Вынесем множитель $20$ из $- 100$ .

$\frac{20 (- x^{2}) + 20 (- 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.10.3.3

Вынесем множитель $20$ из $20 (- x^{2}) + 20 (- 5)$ .

$\frac{20 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.10.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.10.5

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) - 1 (5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.10.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{20 (- (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.10.7

Перепишем $- (x^{2} + 5)$ в виде $- 1 (x^{2} + 5)$ .

$\frac{20 (- 1 (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.10.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{20 (x^{2} + 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.11

Найдем производную в $x = 5$ .

$- \frac{20 ({(5)}^{2} + 5)}{{({(5)}^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- \frac{20 (25 + 5)}{{(5^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.12.1.2

Добавим $25$ и $5$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{{(5^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 1.12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{{(25 - 5)}^{2}}$

Этап 1.12.2.2

Вычтем $5$ из $25$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{20^{2}}$

Этап 1.12.2.3

Возведем $20$ в степень $2$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{400}$

Этап 1.12.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1

Умножим $20$ на $30$ .

$- \frac{600}{400}$

Этап 1.12.3.2

Сократим общий множитель $600$ и $400$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.2.1

Вынесем множитель $200$ из $600$ .

$- \frac{200 (3)}{400}$

Этап 1.12.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.2.2.1

Вынесем множитель $200$ из $400$ .

$- \frac{200 \cdot 3}{200 \cdot 2}$

Этап 1.12.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{200 \cdot 3}{200 \cdot 2}$

Этап 1.12.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{2}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{3}{2}$ и координаты заданной точки $(5, 5)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (5))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 5 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 5 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 5 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 5$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{3}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 5$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- \frac{3}{2} \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + 5 (\frac{3}{2})$

Этап 2.3.1.5.2

Объединим $5$ и $\frac{3}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{5 \cdot 3}{2}$

Этап 2.3.1.5.3

Умножим $5$ на $3$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{15}{2}$

Этап 2.3.1.6

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y - 5 = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + 5$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15 + 5 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $5$ на $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15 + 10}{2}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $15$ и $10$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{25}{2}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{3}{2} x) + \frac{25}{2}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3}{2} x + \frac{25}{2}$

Этап 3