Математический анализ Примеры

$y = \ln (x^{2} - 4 x + 1)$ , $(4, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} - 4 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 + 0)$

Этап 1.2.7

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 1.3.2

Умножим $2 x - 4$ на $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 1.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 1.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 4$ .

$\frac{2 ((4) - 2)}{{(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 1}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{4^{2} - 4 \cdot 4 + 1}$

Этап 1.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{16 - 4 \cdot 4 + 1}$

Этап 1.5.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{16 - 16 + 1}$

Этап 1.5.2.3

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{2 \cdot 2}{0 + 1}$

Этап 1.5.2.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1}$

Этап 1.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{1}$

Этап 1.5.3.2

Разделим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $4$ и координаты заданной точки $(4, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 4 \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 4 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 4 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.2

Упростим $4 \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 4 x + 4 \cdot - 4$

Этап 2.3.2.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$y = 4 x - 16$

Этап 3