Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}$ at the point where $x = 4$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = \sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

Этап 1.2

Упростим $\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

Этап 1.2.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$y = \sqrt{25 - 16}$

Этап 1.2.3

Вычтем $16$ из $25$ .

$y = \sqrt{9}$

Этап 1.2.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

Этап 1.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 3$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = 3$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{25 - x^{2}}$ в виде ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 25 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $25 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Этап 2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Этап 2.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Этап 2.7.3

Перенесем ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $25 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.9

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Этап 2.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Этап 2.13.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 2.13.3

Объединим $\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.16

Найдем производную в $x = 4$ .

$- \frac{4}{{(25 - {(4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.17

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{4}{{(25 - 1 \cdot 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.17.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$- \frac{4}{{(25 - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.17.2

Вычтем $16$ из $25$ .

$- \frac{4}{9^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.17.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{4}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.17.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 2.17.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.5.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 2.17.5.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{4}{3^{1}}$

Этап 2.17.6

Найдем экспоненту.

$- \frac{4}{3}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{4}{3}$ и координаты заданной точки $(4, 3)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{4}{3} \cdot (x - (4))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 3 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- \frac{4}{3} \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 (\frac{4}{3})$

Этап 3.3.1.5.2

Объединим $4$ и $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{4 \cdot 4}{3}$

Этап 3.3.1.5.3

Умножим $4$ на $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{16}{3}$

Этап 3.3.1.6

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y - 3 = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.3.2.3

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Этап 3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 3.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Умножим $3$ на $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 9}{3}$

Этап 3.3.2.5.2

Добавим $16$ и $9$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{25}{3}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{25}{3}$

Этап 3.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}$

Этап 4