Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{x^{3}}$ , $(1, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 1.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Этап 1.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 1$ .

$- \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{3}{1}$

Этап 1.5.2

Разделим $3$ на $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Этап 1.5.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 3$ и координаты заданной точки $(1, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 3 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - 3 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 3 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - 3 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - 3 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - 3 x - 3 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y - 1 = - 3 x + 3$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - 3 x + 3 + 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $3$ и $1$ .

$y = - 3 x + 4$

Этап 3