Математический анализ Примеры

Поскольку ${\displaystyle 5}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 5x{e}^x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 5\frac{d}{dx}\left[x{e}^x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=e^x}$.

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[a^x\right]}$ имеет вид ${\displaystyle a^x\ln \left(a\right)}$, где ${\displaystyle a}$=${\displaystyle e}$.

Продифференцируем, используя правило степени.

Упростим.

Найдем производную в ${\displaystyle x=0}$.

Упростим.

Используем угловой коэффициент ${\displaystyle 5}$ и координаты заданной точки ${\displaystyle (0,0)}$ вместо ${\displaystyle x_1}$ и ${\displaystyle y_1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой ${\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)}$, выведенном из уравнения с угловым коэффициентом ${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$.

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

Решим относительно ${\displaystyle y}$.