Математический анализ Примеры

$y = x e^{- x^{2}}$ , $(0, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{2}$ .

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.2

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Этап 1.9

Умножим $e^{- x^{2}}$ на $1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Этап 1.10.2

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Этап 1.11

Найдем производную в $x = 0$ .

$- 2 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 1.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 2 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 1.12.1.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 1.12.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 e^{- 0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 1.12.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 e^{0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 1.12.1.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1 + e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 1.12.1.6

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 1.12.1.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + e^{- 0}$

Этап 1.12.1.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + e^{0}$

Этап 1.12.1.9

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 1$

Этап 1.12.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $1$ и координаты заданной точки $(0, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3.2

Упростим $1 \cdot (x + 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $x + 0$ на $1$ .

$y = x + 0$

Этап 2.3.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$y = x$

Этап 3