Математический анализ Примеры

$y = x^{3} e^{- x}$ , $(1, \frac{1}{e})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = \frac{1}{e}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.3.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 1$ .

$- {(1)}^{3} e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 1 \cdot 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Этап 1.6.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Этап 1.6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 e^{- 1} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Этап 1.6.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Этап 1.6.1.5

Перепишем $- 1 \frac{1}{e}$ в виде $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Этап 1.6.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{e} + 3 \cdot 1 e^{- (1)}$

Этап 1.6.1.7

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

Этап 1.6.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- 1}$

Этап 1.6.1.9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} + 3 \frac{1}{e}$

Этап 1.6.1.10

Объединим $3$ и $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + \frac{3}{e}$

Этап 1.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 3}{e}$

Этап 1.6.2.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{2}{e}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{2}{e}$ и координаты заданной точки $(1, \frac{1}{e})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{e} = \frac{2}{e} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вычтем $\frac{2}{e} \cdot (x - 1)$ из обеих частей уравнения.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} \cdot (x - 1) = 0$

Этап 2.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} x - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

Этап 2.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{e}$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

Этап 2.3.1.2.3

Умножим $- \frac{2}{e} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + 1 \frac{2}{e} = 0$

Этап 2.3.1.2.3.2

Умножим $\frac{2}{e}$ на $1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + \frac{2}{e} = 0$

Этап 2.3.1.2.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{2 x}{e} + \frac{2}{e} = 0$

Этап 2.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + \frac{- 1 - 2 x + 2}{e} = 0$

Этап 2.3.1.4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$y + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

Этап 2.3.1.5

Чтобы записать $y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e}{e}$ .

$\frac{y e}{e} + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

Этап 2.3.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y e - 2 x + 1}{e} = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем числитель к нулю.

$y e - 2 x + 1 = 0$

Этап 2.3.3

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$y e + 1 = 2 x$

Этап 2.3.3.1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y e = 2 x - 1$

Этап 2.3.3.2

Разделим каждый член $y e = 2 x - 1$ на $e$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Разделим каждый член $y e = 2 x - 1$ на $e$ .

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Этап 2.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Этап 2.3.3.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Этап 2.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{2 x}{e} - \frac{1}{e}$

Этап 2.3.4

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2}{e} x - \frac{1}{e}$

Этап 3