Математический анализ Примеры

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3$ , $(4, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем левую часть в виде рациональных экспонент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 3$

Этап 1.1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 3$

Этап 1.2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Этап 1.3.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Этап 1.3.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Этап 1.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Этап 1.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Этап 1.3.3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Этап 1.3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Этап 1.3.3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Этап 1.3.3.9

Объединим $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Этап 1.3.3.10

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.3.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 1.6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вычтем $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.6.2

Умножим обе части на $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1

Упростим $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.6.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.6.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.6.3.1.1.3

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.6.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1

Упростим $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ в числитель.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.6.3.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.6.3.2.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 (y^{\frac{1}{2}}))$

Этап 1.6.3.2.1.1.4

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.6.3.2.1.1.5

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.6.3.2.1.2

Объединим $\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.6.3.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.8

Найдем значение $x = 4$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$- \frac{y^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.8.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$- \frac{{(1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.8.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.8.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.8.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.8.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.8.4.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2^{1}}$

Этап 1.8.4.4

Найдем экспоненту.

$- \frac{1}{2}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{1}{2}$ и координаты заданной точки $(4, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 2))$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 2$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{x}{2} + 2 + 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 3$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 3$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{2} x + 3$

Этап 3