Математический анализ Примеры

$f (x) = {({(x - 2)}^{2} - x)}^{2}$ at $x = 3$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = {({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = {({(3 - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = {({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

Этап 1.2.3

Упростим ${({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Вычтем $2$ из $3$ .

$y = {(1^{2} - (3))}^{2}$

Этап 1.2.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$y = {(1 - (3))}^{2}$

Этап 1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = {(1 - 3)}^{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вычтем $3$ из $1$ .

$y = {(- 2)}^{2}$

Этап 1.2.3.2.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = 4$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(x - 2)}^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(x - 2)}^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(x - 2)}^{2} - x$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная ${(x - 2)}^{2} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x - 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.4.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.4.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.4.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - 1 \cdot 1)$

Этап 2.4.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - 1)$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 {(x - 2)}^{2} + 2 (- x)) (2 (x - 2) - 1)$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 {(x - 2)}^{2} + 2 (- x)) (2 x + 2 \cdot - 2 - 1)$

Этап 2.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot - 2 - 1)$

Этап 2.5.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x - 4 - 1)$

Этап 2.5.3.3

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x - 5)$

Этап 2.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$(2 ((x - 2) (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

Этап 2.5.4.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

Этап 2.5.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

Этап 2.5.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

Этап 2.5.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

Этап 2.5.4.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$(2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

Этап 2.5.4.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$(2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 2 x) (2 x - 5)$

Этап 2.5.4.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$(2 (x^{2} - 4 x + 4) - 2 x) (2 x - 5)$

Этап 2.5.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 - 2 x) (2 x - 5)$

Этап 2.5.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.5.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4 - 2 x) (2 x - 5)$

Этап 2.5.4.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x) (2 x - 5)$

Этап 2.5.5

Вычтем $2 x$ из $- 8 x$ .

$(2 x^{2} - 10 x + 8) (2 x - 5)$

Этап 2.5.6

Развернем $(2 x^{2} - 10 x + 8) (2 x - 5)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Этап 2.5.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Этап 2.5.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.2.1

Перенесем $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Этап 2.5.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Этап 2.5.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Этап 2.5.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Этап 2.5.7.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Этап 2.5.7.4

Умножим $- 5$ на $2$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Этап 2.5.7.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 x \cdot x - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Этап 2.5.7.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.6.1

Перенесем $x$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 (x \cdot x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Этап 2.5.7.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 x^{2} - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Этап 2.5.7.7

Умножим $- 10$ на $2$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Этап 2.5.7.8

Умножим $- 5$ на $- 10$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Этап 2.5.7.9

Умножим $2$ на $8$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 16 x + 8 \cdot - 5$

Этап 2.5.7.10

Умножим $8$ на $- 5$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 16 x - 40$

Этап 2.5.8

Вычтем $20 x^{2}$ из $- 10 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 50 x + 16 x - 40$

Этап 2.5.9

Добавим $50 x$ и $16 x$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 66 x - 40$

Этап 2.6

Найдем производную в $x = 3$ .

$4 {(3)}^{3} - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$4 \cdot 27 - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

Этап 2.7.1.2

Умножим $4$ на $27$ .

$108 - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

Этап 2.7.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$108 - 30 \cdot 9 + 66 (3) - 40$

Этап 2.7.1.4

Умножим $- 30$ на $9$ .

$108 - 270 + 66 (3) - 40$

Этап 2.7.1.5

Умножим $66$ на $3$ .

$108 - 270 + 198 - 40$

Этап 2.7.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вычтем $270$ из $108$ .

$- 162 + 198 - 40$

Этап 2.7.2.2

Добавим $- 162$ и $198$ .

$36 - 40$

Этап 2.7.2.3

Вычтем $40$ из $36$ .

$- 4$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 4$ и координаты заданной точки $(3, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 4 \cdot (x - (3))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = - 4 \cdot (x - 3)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 4 \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 4 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 3)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 4 = - 4 \cdot (x - 3)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = - 4 x - 4 \cdot - 3$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y - 4 = - 4 x + 12$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = - 4 x + 12 + 4$

Этап 3.3.2.2

Добавим $12$ и $4$ .

$y = - 4 x + 16$

Этап 4