Математический анализ Примеры

$y = \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ , $(π, - 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = π$ и $y = - 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.4

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.8

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.9

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.9.2

Умножим $1 + \sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1.1

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.10.2.1.2

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.10.2.1.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.10.2.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.10.2.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.10.2.2

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.10.2.3

Переставляем члены.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.10.2.4

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.11

Найдем производную в $x = π$ .

$\frac{1 + \sin (π)}{\cos^{2} (π)}$

Этап 1.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1 + \sin (0)}{\cos^{2} (π)}$

Этап 1.12.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1 + 0}{\cos^{2} (π)}$

Этап 1.12.1.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (π)}$

Этап 1.12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1}{{(- \cos (0))}^{2}}$

Этап 1.12.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{{(- 1 \cdot 1)}^{2}}$

Этап 1.12.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 1.12.2.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 1.12.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1}$

Этап 1.12.3.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $1$ и координаты заданной точки $(π, - 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (π))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 1 = 1 \cdot (x - π)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $x - π$ на $1$ .

$y + 1 = x - π$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = x - π - 1$

Этап 3