Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{2}$ ; $x = 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Этап 1.2.3

Упростим ${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1 {(3 - (1))}^{2}$

Этап 1.2.3.2

Умножим ${(3 - (1))}^{2}$ на $1$ .

$y = {(3 - (1))}^{2}$

Этап 1.2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = {(3 - 1)}^{2}$

Этап 1.2.3.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$y = 2^{2}$

Этап 1.2.3.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 4$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(3 - x)}^{2}$ в виде $(3 - x) (3 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((3 - x) (3 - x))]$

Этап 2.2

Развернем $(3 - x) (3 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 (3 - x) - x (3 - x))]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x))]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x))]$

Этап 2.3.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - x (- x))]$

Этап 2.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Этап 2.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Этап 2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2})]$

Этап 2.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + x^{2})]$

Этап 2.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 6 x + x^{2})]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [9 - 6 x + x^{2}] + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $9 - 6 x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.5.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.5.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.5.6

Умножим $- 6$ на $1$ .

$x^{4} (- 6 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.5.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) (4 x^{3})$

Этап 2.5.9

Перенесем $4$ влево от $9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + 4 \cdot (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + (4 \cdot 9 + 4 (- 6 x) + 4 x^{2}) x^{3}$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Этап 2.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Перенесем $- 6$ влево от $x^{4}$ .

$- 6 \cdot x^{4} + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Этап 2.6.4.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.2.1

Перенесем $x$ .

$- 6 x^{4} + x \cdot x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Этап 2.6.4.2.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 6 x^{4} + x^{1} x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Этап 2.6.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 x^{4} + x^{1 + 4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Этап 2.6.4.2.3

Добавим $1$ и $4$ .

$- 6 x^{4} + x^{5} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Этап 2.6.4.3

Перенесем $2$ влево от $x^{5}$ .

$- 6 x^{4} + 2 \cdot x^{5} + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Этап 2.6.4.4

Умножим $4$ на $9$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Этап 2.6.4.5

Умножим $- 6$ на $4$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x \cdot x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Этап 2.6.4.6

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.6.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x) + 4 x^{2} x^{3}$

Этап 2.6.4.6.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x^{1}) + 4 x^{2} x^{3}$

Этап 2.6.4.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{3 + 1} + 4 x^{2} x^{3}$

Этап 2.6.4.6.3

Добавим $3$ и $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{2} x^{3}$

Этап 2.6.4.7

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2})$

Этап 2.6.4.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2}$

Этап 2.6.4.7.3

Добавим $3$ и $2$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{5}$

Этап 2.6.4.8

Вычтем $24 x^{4}$ из $- 6 x^{4}$ .

$- 30 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 x^{5}$

Этап 2.6.4.9

Добавим $2 x^{5}$ и $4 x^{5}$ .

$- 30 x^{4} + 6 x^{5} + 36 x^{3}$

Этап 2.6.5

Изменим порядок членов.

$6 x^{5} - 30 x^{4} + 36 x^{3}$

Этап 2.7

Найдем производную в $x = 1$ .

$6 {(1)}^{5} - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$6 \cdot 1 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Этап 2.8.1.2

Умножим $6$ на $1$ .

$6 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Этап 2.8.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$6 - 30 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3}$

Этап 2.8.1.4

Умножим $- 30$ на $1$ .

$6 - 30 + 36 {(1)}^{3}$

Этап 2.8.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$6 - 30 + 36 \cdot 1$

Этап 2.8.1.6

Умножим $36$ на $1$ .

$6 - 30 + 36$

Этап 2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $30$ из $6$ .

$- 24 + 36$

Этап 2.8.2.2

Добавим $- 24$ и $36$ .

$12$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $12$ и координаты заданной точки $(1, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 12 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $12 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 4 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = 12 x + 12 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $12$ на $- 1$ .

$y - 4 = 12 x - 12$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = 12 x - 12 + 4$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 12$ и $4$ .

$y = 12 x - 8$

Этап 4