Математический анализ Примеры

$g (x) = \frac{3 x}{x + 1}$ at $(2, 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x}{x + 1}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 1$ .

$3 \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$3 \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$3 \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$3 \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.6.4

Добавим $0$ и $1$ .

$3 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.6.5

Объединим $3$ и $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{3}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 2$ .

$\frac{3}{{((2) + 1)}^{2}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3}{3^{2}}$

Этап 1.5.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{3}{9}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{9}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Этап 1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{3}$ и координаты заданной точки $(2, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{3} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{1}{3} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Этап 2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 2 = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 6}{3}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 2$ и $6$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

Этап 3