Математический анализ Примеры

$f (x) = - 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ at $x = - \frac{π}{4}$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $- \frac{π}{4}$ вместо $x$ .

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Этап 1.2.2

Упростим $- 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$y = - 5 \cot (\frac{7 π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Этап 1.2.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку котангенс отрицателен в четвертом квадранте.

$y = - 5 (- \cot (\frac{π}{4})) - \frac{5 π}{2} - 4$

Этап 1.2.2.1.3

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$y = - 5 (- 1 \cdot 1) - \frac{5 π}{2} - 4$

Этап 1.2.2.1.4

Умножим $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = - 5 \cdot - 1 - \frac{5 π}{2} - 4$

Этап 1.2.2.1.4.2

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$y = 5 - \frac{5 π}{2} - 4$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$y = 1 - \frac{5 π}{2}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - \frac{π}{4}$ и $y = 1 - \frac{5 π}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 \cot (x)$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.2

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$- 5 (- \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$5 \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{5 π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5 π}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + 0$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $5 \csc^{2} (x)$ и $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $5 \csc^{2} (x)$ и $0$ .

$5 \csc^{2} (x)$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = - \frac{π}{4}$ .

$5 \csc^{2} (- \frac{π}{4})$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$5 \csc^{2} (\frac{7 π}{4})$

Этап 2.6.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку косеканс отрицателен в четвертом квадранте.

$5 {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Этап 2.6.3

Точное значение $\csc (\frac{π}{4})$ : $\sqrt{2}$ .

$5 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 2.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Этап 2.6.4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$5 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Этап 2.6.4.3

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$5 {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 2.6.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.6.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.6.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.6.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.4.1

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.6.5.4.2

Перепишем это выражение.

$5 \cdot 2^{1}$

Этап 2.6.5.5

Найдем экспоненту.

$5 \cdot 2$

Этап 2.6.6

Умножим $5$ на $2$ .

$10$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $10$ и координаты заданной точки $(- \frac{π}{4}, 1 - \frac{5 π}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1 - \frac{5 π}{2}) = 10 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $10 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 0 + 0 + 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 10 \frac{π}{4}$

Этап 3.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 (5) \frac{π}{4}$

Этап 3.3.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 5 \frac{π}{2}$

Этап 3.3.1.5

Объединим $5$ и $\frac{π}{2}$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $\frac{5 π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$y = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$

Этап 3.3.2.3

Объединим противоположные члены в $10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 10 x + \frac{5 π - 5 π}{2} + 1$

Этап 3.3.2.3.2

Вычтем $5 π$ из $5 π$ .

$y = 10 x + \frac{0}{2} + 1$

Этап 3.3.2.4

Разделим $0$ на $2$ .

$y = 10 x + 0 + 1$

Этап 3.3.2.5

Добавим $10 x$ и $0$ .

$y = 10 x + 1$

Этап 4