Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{3} + 4 x - 2$ at $x = - 2$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$y = - {(- 2)}^{3} + 4 (- 2) - 2$

Этап 1.2

Упростим $- {(- 2)}^{3} + 4 (- 2) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$y = - - 8 + 4 (- 2) - 2$

Этап 1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = 8 + 4 (- 2) - 2$

Этап 1.2.1.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$y = 8 - 8 - 2$

Этап 1.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$y = 0 - 2$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$y = - 2$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 2$ и $y = - 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x^{3} + 4 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 4 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 3 x^{2} + 4$ и $0$ .

$- 3 x^{2} + 4$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = - 2$ .

$- 3 {(- 2)}^{2} + 4$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 3 \cdot 4 + 4$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$- 12 + 4$

Этап 2.6.2

Добавим $- 12$ и $4$ .

$- 8$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 8$ и координаты заданной точки $(- 2, - 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = - 8 \cdot (x - (- 2))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 2 = - 8 \cdot (x + 2)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 8 \cdot (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y + 2 = 0 + 0 - 8 \cdot (x + 2)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 2 = - 8 \cdot (x + 2)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 2 = - 8 x - 8 \cdot 2$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 8$ на $2$ .

$y + 2 = - 8 x - 16$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = - 8 x - 16 - 2$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $2$ из $- 16$ .

$y = - 8 x - 18$

Этап 4