Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 25 x^{2} + 144$ ; $x = 2$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = {(2)}^{4} - 25 {(2)}^{2} + 144$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2^{4} - 25 {(2)}^{2} + 144$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 2^{4} - 25 \cdot 2^{2} + 144$

Этап 1.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(2)}^{4} - 25 {(2)}^{2} + 144$

Этап 1.2.4

Упростим ${(2)}^{4} - 25 {(2)}^{2} + 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$y = 16 - 25 {(2)}^{2} + 144$

Этап 1.2.4.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 16 - 25 \cdot 4 + 144$

Этап 1.2.4.1.3

Умножим $- 25$ на $4$ .

$y = 16 - 100 + 144$

Этап 1.2.4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Вычтем $100$ из $16$ .

$y = - 84 + 144$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $- 84$ и $144$ .

$y = 60$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 60$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 25 x^{2} + 144$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [144]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [144]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 25 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25 x^{2}$ по $x$ равна $- 25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [144]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 25 (2 x) + \frac{d}{d x} [144]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 25$ .

$4 x^{3} - 50 x + \frac{d}{d x} [144]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $144$ является константой относительно $x$ , производная $144$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 50 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $4 x^{3} - 50 x$ и $0$ .

$4 x^{3} - 50 x$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 2$ .

$4 {(2)}^{3} - 50 \cdot 2$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 \cdot 8 - 50 \cdot 2$

Этап 2.5.1.2

Умножим $4$ на $8$ .

$32 - 50 \cdot 2$

Этап 2.5.1.3

Умножим $- 50$ на $2$ .

$32 - 100$

Этап 2.5.2

Вычтем $100$ из $32$ .

$- 68$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 68$ и координаты заданной точки $(2, 60)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (60) = - 68 \cdot (x - (2))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 60 = - 68 \cdot (x - 2)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 68 \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 60 = 0 + 0 - 68 \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 60 = - 68 \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 60 = - 68 x - 68 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 68$ на $- 2$ .

$y - 60 = - 68 x + 136$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $60$ к обеим частям уравнения.

$y = - 68 x + 136 + 60$

Этап 3.3.2.2

Добавим $136$ и $60$ .

$y = - 68 x + 196$

Этап 4