Математический анализ Примеры

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$ , $(9, - 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 9$ и $y = - 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 5))$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем ${(y - 3)}^{2}$ в виде $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 3) (y - 3)]$

Этап 1.2.2

Развернем $(y - 3) (y - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Этап 1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Этап 1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Этап 1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Этап 1.2.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Этап 1.2.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $3 y$ из $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 6 y + 9]$

Этап 1.2.4

По правилу суммы производная $y^{2} - 6 y + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.6

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.7

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 y$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.8

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.9

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 y y' - 6 y' + 0$

Этап 1.2.10

Добавим $2 y y' - 6 y'$ и $0$ .

$2 y y' - 6 y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 (x - 5)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x - 5]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 (1 + 0)$

Этап 1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$4 \cdot 1$

Этап 1.3.5.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' - 6 y' = 4$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y' - 6 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y'$ .

$2 y' y - 6 y' = 4$

Этап 1.5.1.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 6 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = 4$

Этап 1.5.1.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ .

$2 y' (y - 3) = 4$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $2 y' (y - 3) = 4$ на $2 (y - 3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $2 y' (y - 3) = 4$ на $2 (y - 3)$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Этап 1.5.2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2}{y - 3}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 3}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 9$ в $y = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$\frac{2}{y - 3}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $- 1$ .

$\frac{2}{(- 1) - 3}$

Этап 1.7.3

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$\frac{2}{- 4}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $2$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 4}$

Этап 1.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 2}$

Этап 1.7.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{1}{2}$ и координаты заданной точки $(9, - 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (9))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 9)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{1}{2} \cdot (x - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 9)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 9)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 9$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 9$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$y + 1 = - \frac{x}{2} + 9 (\frac{1}{2})$

Этап 2.3.1.5.2

Объединим $9$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + 1 = - \frac{x}{2} + \frac{9}{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{9}{2} - 1$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{9 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{9 - 2}{2}$

Этап 2.3.2.5.2

Вычтем $2$ из $9$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{7}{2}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

Этап 3