Математический анализ Примеры

$y = 3 \arcsin (x)$ , $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{π}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \arcsin (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$

Этап 1.2

Производная $\arcsin (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 1.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}}$

Этап 1.5.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}}$

Этап 1.5.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}}$

Этап 1.5.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}}$

Этап 1.5.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}}$

Этап 1.5.1.6

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{3}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$

Этап 1.5.1.7

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}$

Этап 1.5.1.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Этап 1.5.1.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Этап 1.5.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$3 \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 1.5.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$3 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 1.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 1.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 1.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 1.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 1.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 1.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 1.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.5.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.5.5.2

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $2 \sqrt{3}$ и координаты заданной точки $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{2}) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{π}{2} = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Этап 2.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.1.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 (\sqrt{3}) \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $\sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3}$

Этап 2.3.1.3.2

Перепишем $- 1 \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3}$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} + \frac{π}{2}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы записать $- \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $- \sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 2.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 + π}{2}$

Этап 2.3.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \sqrt{3} + π}{2}$

Этап 2.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) + π}{2}$

Этап 2.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $π$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)}{2}$

Этап 2.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

Этап 2.3.3.8

Перепишем $- (2 \sqrt{3} - π)$ в виде $- 1 (2 \sqrt{3} - π)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

Этап 2.3.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 \sqrt{3} - π}{2}$

Этап 3