Математический анализ Примеры

$y = \sec (x) - 6 \cos (x)$ , $P = (\frac{π}{3}, - 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{3}$ и $y = - 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\sec (x) - 6 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 \cos (x)$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sec (x) \tan (x) - 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - 6 (- \sin (x))$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$\sec (x) \tan (x) + 6 \sin (x)$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3}) + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 1.5.1.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 1.5.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} + 6 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.5.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \sqrt{3} + 2 (3) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.5.1.4.2

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{3} + 2 \cdot 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.5.1.4.3

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Этап 1.5.2

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $3 \sqrt{3}$ .

$5 \sqrt{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $5 \sqrt{3}$ и координаты заданной точки $P = (\frac{π}{3}, - 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 5 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 1 = 0 + 0 + 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Этап 2.3.1.4

Умножим $5 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Этап 2.3.1.4.2

Объединим $\frac{π}{3}$ и $- 5$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 5}{3} \sqrt{3}$

Этап 2.3.1.4.3

Объединим $\frac{π \cdot - 5}{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем $- 5$ влево от $π$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} - 1$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 π \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.3.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 π \sqrt{3} - 3}{3}$

Этап 2.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 π \sqrt{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3}) - 3}{3}$

Этап 2.3.3.6

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3}) - 1 (3)}{3}$

Этап 2.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 π \sqrt{3}) - 1 (3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3} + 3)}{3}$

Этап 2.3.3.8

Перепишем $- (5 π \sqrt{3} + 3)$ в виде $- 1 (5 π \sqrt{3} + 3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (5 π \sqrt{3} + 3)}{3}$

Этап 2.3.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3} + 3}{3}$

Этап 3