Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{2} - 16 x}{4 x - x^{3}}$ at $x = 4$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{4^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \frac{4^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - 4^{3}}$

Этап 1.2.3

Избавимся от скобок.

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

Этап 1.2.4

Упростим $\frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сократим общий множитель ${(4)}^{2} - 16 \cdot 4$ и $4 (4) - {(4)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Изменим порядок членов.

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.2

Вынесем множитель $4$ из ${(4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \cdot 4 - 16 \cdot 4}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 16 \cdot 4$ .

$y = \frac{4 \cdot 4 + 4 (- 4 \cdot 4)}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 4 + 4 (- 4 \cdot 4)$ .

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- {(4)}^{3}$ .

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2}) + 4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 4$ .

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2}) + 4 (4)}$

Этап 1.2.4.1.5.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4^{2}) + 4 (4)$ .

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2} + 4)}$

Этап 1.2.4.1.5.4

Сократим общий множитель.

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2} + 4)}$

Этап 1.2.4.1.5.5

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4 - 4 \cdot 4}{- 4^{2} + 4}$

Этап 1.2.4.2

Сократим общий множитель $4 - 4 \cdot 4$ и $- 4^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 1 - 4 \cdot 4}{- 4^{2} + 4}$

Этап 1.2.4.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \cdot 4$ .

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 1 \cdot 4)}{- 4^{2} + 4}$

Этап 1.2.4.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (- 1 \cdot 4)$ .

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{- 4^{2} + 4}$

Этап 1.2.4.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4^{2}$ .

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4) + 4}$

Этап 1.2.4.2.4.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4) + 4 (1)}$

Этап 1.2.4.2.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 1 \cdot 4) + 4 (1)$ .

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4 + 1)}$

Этап 1.2.4.2.4.4

Сократим общий множитель.

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4 + 1)}$

Этап 1.2.4.2.4.5

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{- 1 \cdot 4 + 1}$

Этап 1.2.4.3

Сократим общий множитель $1 - 1 \cdot 4$ и $- 1 \cdot 4 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{1 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{1 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.3.3

Перепишем это выражение.

$y = 1$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 16 x$ и $g (x) = 4 x - x^{3}$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x] - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 16 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16 x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16 \cdot 1) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.2.5

Умножим $- 16$ на $1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.2.6

По правилу суммы производная $4 x - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.2.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.2.9

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.2.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - (3 x^{2}))}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.2.12

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Развернем $(4 x - x^{3}) (2 x - 16)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x (2 x - 16) - x^{3} (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.4

Умножим $- 16$ на $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{3} x - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.6

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.6.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 3} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.6.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.8

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} + (- x^{2} + 16 x) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.4

Развернем $(- x^{2} + 16 x) (4 - 3 x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} (4 - 3 x^{2}) + 16 x (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2} x^{2} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.5.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 (x^{2} x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.5.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2 + 2} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.5.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{4} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.5.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.5.5

Умножим $4$ на $16$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.5.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x \cdot x^{2}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.5.7

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 (x^{2} x)}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.5.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 (x^{2} x^{1})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.5.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x^{2 + 1}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.5.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.5.8

Умножим $16$ на $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.2

Объединим противоположные члены в $8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x - 48 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Добавим $- 64 x$ и $64 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 0 - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.2.2

Добавим $8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.3

Вычтем $4 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.4

Добавим $- 2 x^{4}$ и $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.2.5

Вычтем $48 x^{3}$ из $16 x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.3.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.3.4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 32 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x) + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.3.4.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x) + x^{2} \cdot 4}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.3.4.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x) + x^{2} \cdot 4}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.3.4.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x^{2} - 32 x) + x^{2} \cdot 4$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2}) + 4 x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2}) + x \cdot 4)}^{2}}$

Этап 2.3.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x^{2}) + x \cdot 4$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2} + 4))}^{2}}$

Этап 2.3.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2} + 2^{2}))}^{2}}$

Этап 2.3.5.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2^{2} - x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.3.5.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2 + x) (2 - x))}^{2}}$

Этап 2.3.5.5

Применим правило умножения к $x (2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2 + x))}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x \cdot 2 + x \cdot x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.7

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(2 \cdot x + x \cdot x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.8

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(2 \cdot x + x^{2})}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.9

Перепишем ${(2 x + x^{2})}^{2}$ в виде $(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2})$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.10

Развернем $(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x + x^{2}) + x^{2} (2 x + x^{2})) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x + x^{2})) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.11.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.11.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.1.4

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.11.1.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 (x^{2} x) + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.1.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.11.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{2 + 1} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.1.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{2} x + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.1.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.11.1.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.1.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.11.1.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.1.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.1.7

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.11.1.7.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{2 + 2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.1.7.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.11.2

Добавим $2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.12

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.12.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + 4 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.12.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x) + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.12.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.12.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot (4 + 4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.12.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot (4 + 4 x) + x^{2} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (4 + 4 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.13

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.13.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (2^{2} + 4 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.13.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$

Этап 2.3.5.13.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.5.13.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.3.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} - 32 x + 4}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 4$ .

$\frac{{(4)}^{2} - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{{(4)}^{2} - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Этап 2.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16 - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Этап 2.5.2.2

Умножим $- 32$ на $4$ .

$\frac{16 - 128 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Этап 2.5.2.3

Вычтем $128$ из $16$ .

$\frac{- 112 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Этап 2.5.2.4

Добавим $- 112$ и $4$ .

$\frac{- 108}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Этап 2.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{- 108}{6^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Этап 2.5.3.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 108}{6^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Этап 2.5.3.3

Вычтем $4$ из $2$ .

$\frac{- 108}{6^{2} {(- 2)}^{2}}$

Этап 2.5.3.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{- 108}{36 {(- 2)}^{2}}$

Этап 2.5.3.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{- 108}{36 \cdot 4}$

Этап 2.5.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $36$ на $4$ .

$\frac{- 108}{144}$

Этап 2.5.4.2

Сократим общий множитель $- 108$ и $144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Вынесем множитель $36$ из $- 108$ .

$\frac{36 (- 3)}{144}$

Этап 2.5.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.2.1

Вынесем множитель $36$ из $144$ .

$\frac{36 \cdot - 3}{36 \cdot 4}$

Этап 2.5.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{36 \cdot - 3}{36 \cdot 4}$

Этап 2.5.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{4}$

Этап 2.5.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{4}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{3}{4}$ и координаты заданной точки $(4, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{3}{4}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.2.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 (- 1))$

Этап 3.3.1.2.3.3

Сократим общий множитель.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.2.3.4

Перепишем это выражение.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.2.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3$

Этап 3.3.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y - 1 = - \frac{3 x}{4} + 3$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{3 x}{4} + 3 + 1$

Этап 3.3.2.2

Добавим $3$ и $1$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 4$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{3}{4} x) + 4$

Этап 3.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3}{4} x + 4$

Этап 4