Математический анализ Примеры

$f (x) = - 2 \sin (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $\frac{3}{4} \cdot π$ вместо $x$ .

$y = - 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Этап 1.2.2

Упростим $- 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $π$ .

$y = - 2 \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 1.2.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$y = - 2 \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.2.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = 2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.2.4.2

Сократим общий множитель.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.2.4.3

Перепишем это выражение.

$y = - 1 \sqrt{2}$

Этап 1.2.2.5

Перепишем $- 1 \sqrt{2}$ в виде $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{3}{4} π$ и $y = - \sqrt{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 2 \cos (x)$

Этап 2.3

Найдем производную в $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

$- 2 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $π$ .

$- 2 \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 2.4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Этап 2.4.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.4.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.4.4

Перепишем это выражение.

$- 1 (- \sqrt{2})$

Этап 2.4.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sqrt{2}$

Этап 2.4.5.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\sqrt{2}$ и координаты заданной точки $(\frac{3}{4} \cdot π, - \sqrt{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y + \sqrt{2} = 0 + 0 + \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Этап 3.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \sqrt{2} = \sqrt{2} x + \sqrt{2} (- \frac{3 π}{4})$

Этап 3.3.1.2.2

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{3 π}{4}$ .

$y + \sqrt{2} = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} (3 π)}{4}$

Этап 3.3.1.3

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{2}$ .

$y + \sqrt{2} = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π}{4}$

Этап 3.3.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из обеих частей уравнения.

$y = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π}{4} - \sqrt{2}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы записать $- \sqrt{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π}{4} - \sqrt{2} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.3.3.2

Объединим $- \sqrt{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π}{4} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Этап 3.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 3 \sqrt{2} π - \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Этап 3.3.3.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{4}$

Этап 3.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 \sqrt{2} π$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (3 \sqrt{2} π) - 4 \sqrt{2}}{4}$

Этап 3.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 \sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (3 \sqrt{2} π) - (4 \sqrt{2})}{4}$

Этап 3.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 \sqrt{2} π) - (4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2})}{4}$

Этап 3.3.3.8

Перепишем $- (3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2})$ в виде $- 1 (3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 1 (3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2})}{4}$

Этап 3.3.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4