Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - 6 x + 9$ at $x = 2$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Этап 1.2.3

Упростим ${(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $- 6$ на $2$ .

$y = 4 - 12 + 9$

Этап 1.2.3.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вычтем $12$ из $4$ .

$y = - 8 + 9$

Этап 1.2.3.2.2

Добавим $- 8$ и $9$ .

$y = 1$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 6 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 6 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $2 x - 6$ и $0$ .

$2 x - 6$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 2$ .

$2 (2) - 6$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 - 6$

Этап 2.5.2

Вычтем $6$ из $4$ .

$- 2$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 2$ и координаты заданной точки $(2, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 2 \cdot (x - (2))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 2 \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y - 1 = - 2 x + 4$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - 2 x + 4 + 1$

Этап 3.3.2.2

Добавим $4$ и $1$ .

$y = - 2 x + 5$

Этап 4