Математический анализ Примеры

$y = {(e^{2 x} - 4)}^{2}$ , $(0, 9)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 9$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{2 x} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{2 x} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{2 x} - 4$ .

$2 (e^{2 x} - 4) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $e^{2 x} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.4.3.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.4.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x} + 0)$

Этап 1.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Добавим $2 e^{2 x}$ и $0$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x})$

Этап 1.4.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (e^{2 x} - 4) e^{2 x}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 e^{2 x} + 4 \cdot - 4) e^{2 x}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 e^{2 x} e^{2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Этап 1.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $e^{2 x}$ на $e^{2 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1

Перенесем $e^{2 x}$ .

$4 (e^{2 x} e^{2 x}) + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Этап 1.5.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 e^{2 x + 2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Этап 1.5.3.1.3

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$4 e^{4 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Этап 1.5.3.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$4 e^{4 x} - 16 e^{2 x}$

Этап 1.6

Найдем производную в $x = 0$ .

$4 e^{4 (0)} - 16 e^{2 (0)}$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$4 e^{0} - 16 e^{2 (0)}$

Этап 1.7.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 \cdot 1 - 16 e^{2 (0)}$

Этап 1.7.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 - 16 e^{2 (0)}$

Этап 1.7.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$4 - 16 e^{0}$

Этап 1.7.1.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 - 16 \cdot 1$

Этап 1.7.1.6

Умножим $- 16$ на $1$ .

$4 - 16$

Этап 1.7.2

Вычтем $16$ из $4$ .

$- 12$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 12$ и координаты заданной точки $(0, 9)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = - 12 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 9 = - 12 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 9 = - 12 x$

Этап 2.3.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$y = - 12 x + 9$

Этап 3