Математический анализ Примеры

$x^{2} y^{8} = 9$ , $(3, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{8}) = \frac{d}{d x} (9)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y^{8}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{8}] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{8}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$x^{2} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{2} (8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3

Перенесем $8$ влево от $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} y^{7} \frac{d}{d x} [y] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} (2 x)$

Этап 1.2.6

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Перенесем $2$ влево от $y^{8}$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + 2 \cdot y^{8} x$

Этап 1.2.6.2

Изменим порядок членов.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x$

Этап 1.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $2 y^{8} x$ из обеих частей уравнения.

$8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ на $8 y^{7} x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ на $8 y^{7} x^{2}$ .

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель $y^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Этап 1.5.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Этап 1.5.2.2.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Этап 1.5.2.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{8} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{8 y^{7} x^{2}}$

Этап 1.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8 y^{7} x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

Этап 1.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

Этап 1.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y^{8} x}{4 y^{7} x^{2}}$

Этап 1.5.2.3.2

Сократим общий множитель $y^{8}$ и $y^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.2.1

Вынесем множитель $y^{7}$ из $- y^{8} x$ .

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{4 y^{7} x^{2}}$

Этап 1.5.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $y^{7}$ из $4 y^{7} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

Этап 1.5.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

Этап 1.5.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y x}{4 x^{2}}$

Этап 1.5.2.3.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{4 x^{2}}$

Этап 1.5.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

Этап 1.5.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

Этап 1.5.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y}{4 x}$

Этап 1.5.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{4 x}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{4 x}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 3$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$- \frac{y}{4 (3)}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$- \frac{1}{4 (3)}$

Этап 1.7.3

Умножим $4$ на $3$ .

$- \frac{1}{12}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{1}{12}$ и координаты заданной точки $(3, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{12} \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \frac{1}{12} x - \frac{1}{12} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{12}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} - \frac{1}{12} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{12}$ в числитель.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{12} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 (4)} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.5.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.4

Сократим общий множитель.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.5

Перепишем это выражение.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{4} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.6

Объединим $\frac{- 1}{4}$ и $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- - 1}{4}$

Этап 2.3.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + 1$

Этап 2.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Этап 2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1 + 4}{4}$

Этап 2.3.2.4

Добавим $1$ и $4$ .

$y = - \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{12} x) + \frac{5}{4}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{12} x + \frac{5}{4}$

Этап 3