Математический анализ Примеры

$f (x) = \tan (x)$ , $(\frac{π}{4}, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{4}$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 1.2

Найдем производную в $x = \frac{π}{4}$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{4})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Этап 1.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Этап 1.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Этап 1.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Этап 1.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Этап 1.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Этап 1.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Этап 1.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Этап 1.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Этап 1.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Этап 1.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Этап 1.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Этап 1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Этап 1.3.4.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

${\sqrt{2}}^{2}$

Этап 1.3.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 1.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 1.3.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2^{\frac{2}{2}}$

Этап 1.3.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2}{2}}$

Этап 1.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$2^{1}$

Этап 1.3.5.5

Найдем экспоненту.

$2$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $2$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{4}, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 2 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $2 \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = 2 x + 2 (- \frac{π}{4})$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{4}$ в числитель.

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{4}$

Этап 2.3.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{2 (2)}$

Этап 2.3.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y - 1 = 2 x + \frac{- π}{2}$

Этап 2.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 1 = 2 x - \frac{π}{2}$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 x - \frac{π}{2} + 1$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = 2 x - \frac{π}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 2.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 2 x + \frac{- π + 2}{2}$

Этап 2.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- π$ .

$y = 2 x + \frac{- (π) + 2}{2}$

Этап 2.3.3.4

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$y = 2 x + \frac{- (π) - 1 (- 2)}{2}$

Этап 2.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (π) - 1 (- 2)$ .

$y = 2 x + \frac{- (π - 2)}{2}$

Этап 2.3.3.6

Перепишем $- (π - 2)$ в виде $- 1 (π - 2)$ .

$y = 2 x + \frac{- 1 (π - 2)}{2}$

Этап 2.3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 2 x - \frac{π - 2}{2}$

Этап 3