Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 3 x + 4$ at $(- 6, - 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 6$ и $y = - 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} x^{2} + 3 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} x^{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $\frac{2 x}{3} + 3$ и $0$ .

$\frac{2 x}{3} + 3$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = - 6$ .

$\frac{2 (- 6)}{3} + 3$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $2$ на $- 6$ .

$\frac{- 12}{3} + 3$

Этап 1.6.2

Разделим $- 12$ на $3$ .

$- 4 + 3$

Этап 1.6.3

Добавим $- 4$ и $3$ .

$- 1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 1$ и координаты заданной точки $(- 6, - 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = - 1 \cdot (x - (- 6))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 2 = - 1 \cdot (x + 6)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 1 \cdot (x + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 2 = 0 + 0 - 1 \cdot (x + 6)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 2 = - 1 \cdot (x + 6)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 2 = - 1 x - 1 \cdot 6$

Этап 2.3.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y + 2 = - x - 1 \cdot 6$

Этап 2.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$y + 2 = - x - 6$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = - x - 6 - 2$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $2$ из $- 6$ .

$y = - x - 8$

Этап 3