Математический анализ Примеры

$y e^{\sin (x)} = x \cos (y)$ , $(0, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y e^{\sin (x)}) = \frac{d}{d x} (x \cos (y))$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = y$ и $g (x) = e^{\sin (x)}$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}] + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$y (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Этап 1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Этап 1.3.5.2

Изменим порядок членов.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y' = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Изменим порядок множителей в $y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

Этап 1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Изменим порядок множителей в $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x y' \sin (y) + \cos (y)$

Этап 1.5.3

Добавим $x y' \sin (y)$ к обеим частям уравнения.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y)$

Этап 1.5.4

Вычтем $y e^{\sin (x)} \cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Этап 1.5.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y' \sin (y)$ .

$y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Этап 1.5.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y))$ .

$y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Этап 1.5.6

Разделим каждый член $y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ на $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Разделим каждый член $y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ на $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ .

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Этап 1.5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.2.1

Сократим общий множитель $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Этап 1.5.6.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Этап 1.5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} - \frac{y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Этап 1.5.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 0$ в $y = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$\frac{\cos (y) - y e^{\sin (0)} \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (y)}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $0$ .

$\frac{\cos (0) + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Этап 1.7.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{0} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Этап 1.7.3.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (1 \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Этап 1.7.3.4

Умножим $\cos (0)$ на $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Этап 1.7.3.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot 1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Этап 1.7.3.6

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{1 + 0}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Этап 1.7.3.7

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Этап 1.7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{e^{0} + (0) \sin (0)}$

Этап 1.7.4.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{1 + (0) \sin (0)}$

Этап 1.7.4.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{1 + 0 \cdot 0}$

Этап 1.7.4.4

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Этап 1.7.4.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 1.7.5

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1}$

Этап 1.7.5.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $1$ и координаты заданной точки $(0, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3.2

Упростим $1 \cdot (x + 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $x + 0$ на $1$ .

$y = x + 0$

Этап 2.3.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$y = x$

Этап 3