Математический анализ Примеры

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ , $(3, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 1.2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 1.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Этап 1.2.6.2

Изменим порядок множителей в $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25 (x^{2} - y^{2})$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Этап 1.3.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Этап 1.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Этап 1.3.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 1.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$25 (2 x - 2 y y')$

Этап 1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

Этап 1.3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Умножим $2$ на $25$ .

$50 x + 25 (- 2 y y')$

Этап 1.3.5.2.2

Умножим $- 2$ на $25$ .

$50 x - 50 y y'$

Этап 1.3.5.3

Изменим порядок членов.

$- 50 y y' + 50 x$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.3

Развернем $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.4.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.4.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.4.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.4.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.4.5

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.4.6

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.4.7

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.7.1

Перенесем $y^{2}$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.4.7.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.7.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.4.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.4.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.1.4.8

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

Этап 1.5.2

Добавим $50 y y'$ к обеим частям уравнения.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

Этап 1.5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вычтем $8 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

Этап 1.5.3.2

Вычтем $8 x y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 1.5.4

Вынесем множитель $2 y y'$ из $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $8 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 1.5.4.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $8 y^{3} y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 1.5.4.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $50 y y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 1.5.4.4

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 1.5.4.5

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Этап 1.5.5

Разделим каждый член $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ на $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Разделим каждый член $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ на $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.2.3

Сократим общий множитель $4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.5.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $50$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $50 x$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.1.4

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Этап 1.5.5.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Этап 1.5.5.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.1.5

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Этап 1.5.5.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Этап 1.5.5.3.2

Чтобы записать $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 1.5.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.3.1

Умножим $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

Этап 1.5.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.6

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.6.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.6.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.7

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.7.1

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.7.2

Вынесем множитель $x$ из $25 x$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.7.3

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.7.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.7.5

Вынесем множитель $x$ из $x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.9

Перепишем $25$ в виде $- 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.13.1

Перепишем $- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ в виде $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.5.5.3.13.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 3$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$- \frac{(3) (4 {(3)}^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 {(3)}^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$- \frac{(3) (4 {(3)}^{2} - 25 + 4 {(1)}^{2})}{(1) (4 {(3)}^{2} + 4 {(1)}^{2} + 25)}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{3 (4 \cdot 9 - 25 + 4 \cdot 1^{2})}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Этап 1.7.3.2

Умножим $4$ на $9$ .

$- \frac{3 (36 - 25 + 4 \cdot 1^{2})}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Этап 1.7.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{3 (36 - 25 + 4 \cdot 1)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Этап 1.7.3.4

Умножим $4$ на $1$ .

$- \frac{3 (36 - 25 + 4)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Этап 1.7.3.5

Вычтем $25$ из $36$ .

$- \frac{3 (11 + 4)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Этап 1.7.3.6

Добавим $11$ и $4$ .

$- \frac{3 \cdot 15}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Этап 1.7.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25$ на $1$ .

$- \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Этап 1.7.4.2

Умножим $3$ на $15$ .

$- \frac{45}{4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Этап 1.7.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{45}{4 \cdot 9 + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Этап 1.7.5.2

Умножим $4$ на $9$ .

$- \frac{45}{36 + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Этап 1.7.5.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{45}{36 + 4 \cdot 1 + 25}$

Этап 1.7.5.4

Умножим $4$ на $1$ .

$- \frac{45}{36 + 4 + 25}$

Этап 1.7.5.5

Добавим $36$ и $4$ .

$- \frac{45}{40 + 25}$

Этап 1.7.5.6

Добавим $40$ и $25$ .

$- \frac{45}{65}$

Этап 1.7.6

Сократим общий множитель $45$ и $65$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Вынесем множитель $5$ из $45$ .

$- \frac{5 (9)}{65}$

Этап 1.7.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $65$ .

$- \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 13}$

Этап 1.7.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 13}$

Этап 1.7.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{9}{13}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{9}{13}$ и координаты заданной точки $(3, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{9}{13} \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \frac{9}{13} x - \frac{9}{13} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{9}{13}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} - \frac{9}{13} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- \frac{9}{13} \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + 3 (\frac{9}{13})$

Этап 2.3.1.5.2

Объединим $3$ и $\frac{9}{13}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + \frac{3 \cdot 9}{13}$

Этап 2.3.1.5.3

Умножим $3$ на $9$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + \frac{27}{13}$

Этап 2.3.1.6

Перенесем $9$ влево от $x$ .

$y - 1 = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} + 1$

Этап 2.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} + \frac{13}{13}$

Этап 2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27 + 13}{13}$

Этап 2.3.2.4

Добавим $27$ и $13$ .

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{40}{13}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{9}{13} x) + \frac{40}{13}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{9}{13} x + \frac{40}{13}$

Этап 3