Математический анализ Примеры

$y = 2 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{6}$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \cos (x)$

Этап 1.3

Найдем производную в $x = \frac{π}{6}$ .

$2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\sqrt{3}$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{6}, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{π}{6}$ .

$y - 1 = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{6}$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{6} + 1$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{6} + \frac{6}{6}$

Этап 2.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π + 6}{6}$

Этап 2.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{3} π$ .

$y = \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) + 6}{6}$

Этап 2.3.3.4

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$y = \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)}{6}$

Этап 2.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)$ .

$y = \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π - 6)}{6}$

Этап 2.3.3.6

Перепишем $- (\sqrt{3} π - 6)$ в виде $- 1 (\sqrt{3} π - 6)$ .

$y = \sqrt{3} x + \frac{- 1 (\sqrt{3} π - 6)}{6}$

Этап 2.3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π - 6}{6}$

Этап 3