Математический анализ Примеры

$g (x) = e^{x^{7} - 8 x}$ , $(- 1, e^{7})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 1$ и $y = e^{7}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{7} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{7} - 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{7} - 8 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{7} - 8 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{7} - 8 x$ .

$e^{x^{7} - 8 x} \frac{d}{d x} [x^{7} - 8 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{7} - 8 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$e^{x^{7} - 8 x} (\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 8 x])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$e^{x^{7} - 8 x} (7 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 8 x])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x^{7} - 8 x} (7 x^{6} - 8 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x^{7} - 8 x} (7 x^{6} - 8 \cdot 1)$

Этап 1.2.5

Умножим $- 8$ на $1$ .

$e^{x^{7} - 8 x} (7 x^{6} - 8)$

Этап 1.3

Найдем производную в $x = - 1$ .

$e^{{(- 1)}^{7} - 8 \cdot - 1} (7 {(- 1)}^{6} - 8)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$e^{- 1 - 8 \cdot - 1} (7 {(- 1)}^{6} - 8)$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$e^{- 1 + 8} (7 {(- 1)}^{6} - 8)$

Этап 1.4.2

Добавим $- 1$ и $8$ .

$e^{7} (7 {(- 1)}^{6} - 8)$

Этап 1.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$e^{7} (7 \cdot 1 - 8)$

Этап 1.4.3.2

Умножим $7$ на $1$ .

$e^{7} (7 - 8)$

Этап 1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вычтем $8$ из $7$ .

$e^{7} \cdot - 1$

Этап 1.4.4.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{7}$ .

$- 1 \cdot e^{7}$

Этап 1.4.4.3

Перепишем $- 1 e^{7}$ в виде $- e^{7}$ .

$- e^{7}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- e^{7}$ и координаты заданной точки $(- 1, e^{7})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (e^{7}) = - e^{7} \cdot (x - (- 1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - e^{7} = - e^{7} \cdot (x + 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- e^{7} \cdot (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - e^{7} = 0 + 0 - e^{7} \cdot (x + 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - e^{7} = - e^{7} \cdot (x + 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - e^{7} = - e^{7} x - e^{7} \cdot 1$

Этап 2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y - e^{7} = - e^{7} x - e^{7}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $e^{7}$ к обеим частям уравнения.

$y = - e^{7} x - e^{7} + e^{7}$

Этап 2.3.2.2

Объединим противоположные члены в $- e^{7} x - e^{7} + e^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Добавим $- e^{7}$ и $e^{7}$ .

$y = - e^{7} x + 0$

Этап 2.3.2.2.2

Добавим $- e^{7} x$ и $0$ .

$y = - e^{7} x$

Этап 3