Математический анализ Примеры

$y = 4 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{6}$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4 \cos (x)$

Этап 1.3

Найдем производную в $x = \frac{π}{6}$ .

$4 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $2 \sqrt{3}$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{6}, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 2 = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Этап 2.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{6}$ в числитель.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- π}{6}$

Этап 2.3.1.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 (\sqrt{3}) \frac{- π}{6}$

Этап 2.3.1.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 (\sqrt{3}) \frac{- π}{2 (3)}$

Этап 2.3.1.2.2.4

Сократим общий множитель.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.1.2.2.5

Перепишем это выражение.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Этап 2.3.1.2.3

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{- π}{3}$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{\sqrt{3} (- π)}{3}$

Этап 2.3.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π}{3}$

Этап 2.3.1.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{3}$

Этап 2.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π + 2 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.3.4

Умножим $2$ на $3$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π + 6}{3}$

Этап 2.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{3} π$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) + 6}{3}$

Этап 2.3.3.6

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)}{3}$

Этап 2.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π - 6)}{3}$

Этап 2.3.3.8

Перепишем $- (\sqrt{3} π - 6)$ в виде $- 1 (\sqrt{3} π - 6)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (\sqrt{3} π - 6)}{3}$

Этап 2.3.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π - 6}{3}$

Этап 3