Математический анализ Примеры

$y = {(1 + 2 x)}^{10}$ , $(0, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{10}$ и $g (x) = 1 + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$10 u^{9} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 2 x$ .

$10 {(1 + 2 x)}^{9} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$10 {(1 + 2 x)}^{9} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 {(1 + 2 x)}^{9} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$10 {(1 + 2 x)}^{9} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 {(1 + 2 x)}^{9} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.5

Умножим $2$ на $10$ .

$20 {(1 + 2 x)}^{9} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 {(1 + 2 x)}^{9} \cdot 1$

Этап 1.2.7

Умножим $20$ на $1$ .

$20 {(1 + 2 x)}^{9}$

Этап 1.3

Найдем производную в $x = 0$ .

$20 {(1 + 2 (0))}^{9}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $2$ на $0$ .

$20 {(1 + 0)}^{9}$

Этап 1.4.2

Добавим $1$ и $0$ .

$20 \cdot 1^{9}$

Этап 1.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$20 \cdot 1$

Этап 1.4.4

Умножим $20$ на $1$ .

$20$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $20$ и координаты заданной точки $(0, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 20 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 20 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 1 = 20 x$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 20 x + 1$

Этап 3