Математический анализ Примеры

$8 x^{2} + 2 y^{2} = 16$ , $(1, - 2)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = - 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (8 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (16)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $8 x^{2} + 2 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $2$ на $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$16 x + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$16 x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$16 x + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$16 x + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$16 x + 2 (2 y y')$

Этап 1.2.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$16 x + 4 y y'$

Этап 1.2.4

Изменим порядок членов.

$4 y y' + 16 x$

Этап 1.3

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 y y' + 16 x = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$4 y y' = - 16 x$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $4 y y' = - 16 x$ на $4 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $4 y y' = - 16 x$ на $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

Этап 1.5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 16 x}{4 y}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 y}$

Этап 1.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 (y)}$

Этап 1.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 y}$

Этап 1.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 4 x}{y}$

Этап 1.5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4 x}{y}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 1$ в $y = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$- \frac{4 (1)}{y}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $- 2$ .

$- \frac{4 (1)}{- 2}$

Этап 1.7.3

Сократим общий множитель $4$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (1)$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 1)}{- 2}$

Этап 1.7.3.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 \cdot 1}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (2 \cdot 1))$

Этап 1.7.4

Перепишем $- 1 \cdot (2 \cdot 1)$ в виде $- (2 \cdot 1)$ .

$- - (2 \cdot 1)$

Этап 1.7.5

Умножим $- - (2 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- (- 1 \cdot 2)$

Этап 1.7.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- - 2$

Этап 1.7.5.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $2$ и координаты заданной точки $(1, - 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = 2 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 2 = 2 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $2 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 2 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 2 = 2 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 2 = 2 x + 2 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + 2 = 2 x - 2$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = 2 x - 2 - 2$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$y = 2 x - 4$

Этап 3