Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ at $x = 2$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{{(2^{3} - (2))}^{2}}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Этап 1.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y = \frac{1}{{(8 - (2))}^{2}}$

Этап 1.2.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \frac{1}{{(8 - 2)}^{2}}$

Этап 1.2.3.3

Вычтем $2$ из $8$ .

$y = \frac{1}{6^{2}}$

Этап 1.2.3.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{1}{36}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = \frac{1}{36}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ в виде ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.1.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{2 \cdot - 1}]$

Этап 2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{- 2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = x^{3} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - x$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x^{3} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1)$

Этап 2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Этап 2.5.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Этап 2.5.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$ .

$- (3 x^{2} - 1) \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}}$

Этап 2.6

Найдем производную в $x = 2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{({(2)}^{3} - (2))}^{3}}$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - (2))}^{3}}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - 2)}^{3}}$

Этап 2.7.1.3

Вычтем $2$ из $8$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{6^{3}}$

Этап 2.7.1.4

Возведем $6$ в степень $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{216}$

Этап 2.7.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- (3 \cdot 4 - 1) \frac{2}{216}$

Этап 2.7.2.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$- (12 - 1) \frac{2}{216}$

Этап 2.7.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Вычтем $1$ из $12$ .

$- 1 \cdot 11 \frac{2}{216}$

Этап 2.7.2.2.2

Умножим $- 1$ на $11$ .

$- 11 (\frac{2}{216})$

Этап 2.7.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $216$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 11 \frac{2 (1)}{216}$

Этап 2.7.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $216$ .

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Этап 2.7.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Этап 2.7.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 11 (\frac{1}{108})$

Этап 2.7.2.2.4

Объединим $- 11$ и $\frac{1}{108}$ .

$\frac{- 11}{108}$

Этап 2.7.2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{11}{108}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{11}{108}$ и координаты заданной точки $(2, \frac{1}{36})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{36}) = - \frac{11}{108} \cdot (x - (2))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{1}{36} = 0 + 0 - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} x - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Этап 3.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{11}{108}$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Этап 3.3.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{11}{108}$ в числитель.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{108} \cdot - 2$

Этап 3.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $108$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 (54)} \cdot - 2$

Этап 3.3.1.2.3.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.2.3.4

Сократим общий множитель.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.2.3.5

Перепишем это выражение.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{54} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.2.4

Объединим $\frac{- 11}{54}$ и $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11 \cdot - 1}{54}$

Этап 3.3.1.2.5

Умножим $- 11$ на $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{11}{54}$

Этап 3.3.1.3

Перенесем $11$ влево от $x$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $\frac{1}{36}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} + \frac{1}{36}$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $\frac{11}{54}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36}$

Этап 3.3.2.3

Чтобы записать $\frac{1}{36}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.3.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $108$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Умножим $\frac{11}{54}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{54 \cdot 2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.3.2.4.2

Умножим $54$ на $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.3.2.4.3

Умножим $\frac{1}{36}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{36 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.4.4

Умножим $36$ на $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{108}$

Этап 3.3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2 + 3}{108}$

Этап 3.3.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.1

Умножим $11$ на $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{22 + 3}{108}$

Этап 3.3.2.6.2

Добавим $22$ и $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{25}{108}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{11}{108} x) + \frac{25}{108}$

Этап 3.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{11}{108} x + \frac{25}{108}$

Этап 4