Математический анализ Примеры

$f (x) = - 4 x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- 1} - 5$ at the point $(4, - \frac{57}{4})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = - \frac{57}{4}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 4 x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- 1} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.9

Объединим $- 4$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.11

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{- 1}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{- 2} + 0$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Этап 1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}} + 0$

Этап 1.5.2.2

Добавим $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}}$ и $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.6

Найдем производную в $x = 4$ .

$\frac{5}{{(4)}^{2}} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.7.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.7.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.7.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.7.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{1}}$

Этап 1.7.1.2.4

Найдем экспоненту.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2}$

Этап 1.7.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2}$

Этап 1.7.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{16} - 1 \cdot 1$

Этап 1.7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{5}{16} - 1$

Этап 1.7.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$\frac{5}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

Этап 1.7.3

Объединим $- 1$ и $\frac{16}{16}$ .

$\frac{5}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Этап 1.7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 - 1 \cdot 16}{16}$

Этап 1.7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{5 - 16}{16}$

Этап 1.7.5.2

Вычтем $16$ из $5$ .

$\frac{- 11}{16}$

Этап 1.7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{11}{16}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{11}{16}$ и координаты заданной точки $(4, - \frac{57}{4})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{57}{4}) = - \frac{11}{16} \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + \frac{57}{4} = 0 + 0 - \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11}{16} x - \frac{11}{16} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{11}{16}$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} - \frac{11}{16} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{11}{16}$ в числитель.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{16} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 (4)} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.4

Сократим общий множитель.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.5

Перепишем это выражение.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.2.4

Объединим $\frac{- 11}{4}$ и $- 1$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11 \cdot - 1}{4}$

Этап 2.3.1.2.5

Умножим $- 11$ на $- 1$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{11}{4}$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $11$ влево от $x$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11 x}{16} + \frac{11}{4}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $\frac{57}{4}$ из обеих частей уравнения.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{11}{4} - \frac{57}{4}$

Этап 2.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 11 x}{16} + \frac{11 - 57}{4}$

Этап 2.3.2.3

Вычтем $57$ из $11$ .

$y = \frac{- 11 x}{16} + \frac{- 46}{4}$

Этап 2.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{- 46}{4}$

Этап 2.3.2.4.2

Сократим общий множитель $- 46$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 46$ .

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 (- 23)}{4}$

Этап 2.3.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 \cdot - 23}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 \cdot - 23}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{- 23}{2}$

Этап 2.3.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{11 x}{16} - \frac{23}{2}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{11}{16} x) - \frac{23}{2}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{11}{16} x - \frac{23}{2}$

Этап 3