Математический анализ Примеры

$x^{2} y^{2} = 3 y + 1$ at $(2, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (3 y + 1)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Этап 1.2.6

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $3 y + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y' + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 y' + 0$

Этап 1.3.3.2

Добавим $3 y'$ и $0$ .

$3 y'$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 3 y'$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $3 y'$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 3 y' = 0$

Этап 1.5.2

Вычтем $2 y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} y y' - 3 y' = - 2 y^{2} x$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $2 x^{2} y y' - 3 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 x^{2} y y'$ .

$y' (2 x^{2} y) - 3 y' = - 2 y^{2} x$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y'$ .

$y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3 = - 2 y^{2} x$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3$ .

$y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$

Этап 1.5.4

Разделим каждый член $y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ на $2 x^{2} y - 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Разделим каждый член $y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ на $2 x^{2} y - 3$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Этап 1.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Сократим общий множитель $2 x^{2} y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Этап 1.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 2$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$- \frac{2 y^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} y - 3}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$- \frac{2 {(1)}^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} (1) - 3}$

Этап 1.7.3

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2 \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

Этап 1.7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

Этап 1.7.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1 + 2} \cdot 1 - 3}$

Этап 1.7.4.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} \cdot 1 - 3}$

Этап 1.7.4.2

Упростим $2^{3} \cdot 1$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} - 3}$

Этап 1.7.4.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{8 - 3}$

Этап 1.7.4.4

Вычтем $3$ из $8$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{5}$

Этап 1.7.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{4 \cdot 1}{5}$

Этап 1.7.5.2

Умножим $4$ на $1$ .

$- \frac{4}{5}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{4}{5}$ и координаты заданной точки $(2, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- \frac{4}{5} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + 2 (\frac{4}{5})$

Этап 2.3.1.5.2

Объединим $2$ и $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5}$

Этап 2.3.1.5.3

Умножим $2$ на $4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{8}{5}$

Этап 2.3.1.6

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y - 1 = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 1$

Этап 2.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

Этап 2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 5}{5}$

Этап 2.3.2.4

Добавим $8$ и $5$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{13}{5}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{13}{5}$

Этап 3