Математический анализ Примеры

$y = {(x^{2} - x)}^{3}$ at $(2, 8)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = 8$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - x$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1 \cdot 1)$

Этап 1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1)$

Этап 1.3

Найдем производную в $x = 2$ .

$3 {({(2)}^{2} - (2))}^{2} (2 (2) - 1)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$3 {(4 - (2))}^{2} (2 (2) - 1)$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 {(4 - 2)}^{2} (2 (2) - 1)$

Этап 1.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вычтем $2$ из $4$ .

$3 \cdot 2^{2} (2 (2) - 1)$

Этап 1.4.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$3 \cdot 4 (2 (2) - 1)$

Этап 1.4.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 (2 (2) - 1)$

Этап 1.4.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$12 (4 - 1)$

Этап 1.4.2.5

Вычтем $1$ из $4$ .

$12 \cdot 3$

Этап 1.4.2.6

Умножим $12$ на $3$ .

$36$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $36$ и координаты заданной точки $(2, 8)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = 36 \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 8 = 36 \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $36 \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 8 = 0 + 0 + 36 \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 8 = 36 \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 8 = 36 x + 36 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Умножим $36$ на $- 2$ .

$y - 8 = 36 x - 72$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$y = 36 x - 72 + 8$

Этап 2.3.2.2

Добавим $- 72$ и $8$ .

$y = 36 x - 64$

Этап 3