Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{3} x^{2} - x + 1$ at $(2, \frac{5}{3})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = \frac{5}{3}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{2}{3} x^{2} - x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3} x^{2}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x}{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 x}{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4 x}{3} - 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 1 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $\frac{4 x}{3} - 1$ и $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 1$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 2$ .

$\frac{4 (2)}{3} - 1$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8}{3} - 1$

Этап 1.6.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 1.6.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Этап 1.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}$

Этап 1.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{8 - 3}{3}$

Этап 1.6.5.2

Вычтем $3$ из $8$ .

$\frac{5}{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{5}{3}$ и координаты заданной точки $(2, \frac{5}{3})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{3}) = \frac{5}{3} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{5}{3} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{5}{3} = 0 + 0 + \frac{5}{3} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{5}{3}$ и $x$ .

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Умножим $\frac{5}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $- 2$ .

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 2}{3}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{- 10}{3}$

Этап 2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{5}{3}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3} + \frac{5}{3}$

Этап 2.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{5 x - 10 + 5}{3}$

Этап 2.3.2.3

Добавим $- 10$ и $5$ .

$y = \frac{5 x - 5}{3}$

Этап 2.3.2.4

Вынесем множитель $5$ из $5 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$y = \frac{5 (x) - 5}{3}$

Этап 2.3.2.4.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$y = \frac{5 (x) + 5 (- 1)}{3}$

Этап 2.3.2.4.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (x) + 5 (- 1)$ .

$y = \frac{5 (x - 1)}{3}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{5 x + 5 \cdot - 1}{3}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$y = \frac{5 x - 5}{3}$

Этап 2.3.3.3

Разобьем дробь $\frac{5 x - 5}{3}$ на две дроби.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Этап 2.3.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

Этап 2.3.3.5

Изменим порядок членов.

$y = \frac{5}{3} x - \frac{5}{3}$

Этап 3