Математический анализ Примеры

$y = 5 x - x^{2}$ , $(1, 4)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 - (2 x)$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$5 - 2 x$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- 2 x + 5$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + 5$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 + 5$

Этап 1.6.2

Добавим $- 2$ и $5$ .

$3$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $3$ и координаты заданной точки $(1, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 3 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = 3 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $3 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 4 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 4 = 3 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = 3 x + 3 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y - 4 = 3 x - 3$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = 3 x - 3 + 4$

Этап 2.3.2.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$y = 3 x + 1$

Этап 3