Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x} (x - 8)$ , $(16, 32)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 16$ и $y = 32$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 8)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x - 8$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.4.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 1.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.3

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.2.3.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.2.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.3.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.4

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.5

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.11.2.6.2

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.6.3

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.8

Чтобы записать $x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.9

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.11

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.2.12

Добавим $2 x^{\frac{1}{2}}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.12

Найдем производную в $x = 16$ .

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.1.1.4

Найдем экспоненту.

$\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.1.3

Разделим $12$ на $2$ .

$6 - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.1.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1.4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$6 - \frac{4}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.13.1.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.13.1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$6 - \frac{4}{4^{1}}$

Этап 1.13.1.4.4

Найдем экспоненту.

$6 - \frac{4}{4}$

Этап 1.13.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1.5.1

Сократим общий множитель.

$6 - \frac{4}{4}$

Этап 1.13.1.5.2

Перепишем это выражение.

$6 - 1 \cdot 1$

Этап 1.13.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 - 1$

Этап 1.13.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$5$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $5$ и координаты заданной точки $(16, 32)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (32) = 5 \cdot (x - (16))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $5 \cdot (x - 16)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 32 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 16)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 32 = 5 x + 5 \cdot - 16$

Этап 2.3.1.4

Умножим $5$ на $- 16$ .

$y - 32 = 5 x - 80$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $32$ к обеим частям уравнения.

$y = 5 x - 80 + 32$

Этап 2.3.2.2

Добавим $- 80$ и $32$ .

$y = 5 x - 48$

Этап 3