Математический анализ Примеры

$y = \frac{2}{3} x^{2} - 3 x + 4$ at $(3, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{2}{3} x^{2} - 3 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3} x^{2}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x}{3} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 x}{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{4 x}{3} - 3 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 3 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $\frac{4 x}{3} - 3$ и $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 3$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 3$ .

$\frac{4 (3)}{3} - 3$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12}{3} - 3$

Этап 1.6.2

Разделим $12$ на $3$ .

$4 - 3$

Этап 1.6.3

Вычтем $3$ из $4$ .

$1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $1$ и координаты заданной точки $(3, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 1 \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 1 \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$y - 1 = x - 3$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = x - 3 + 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$y = x - 2$

Этап 3