Математический анализ Примеры

$f (x) = (1 - x) {(x^{2} - 2)}^{2}$ ; $(2, - 4)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = - 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 - x$ и $g (x) = {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{2}] + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 2$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 - x) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 2$ .

$(1 - x) (2 (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем $2$ влево от $1 - x$ .

$2 \cdot (1 - x) (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2] + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (2 x + 0) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 2) (2 x) + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.3.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.3.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.3.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x + {(x^{2} - 2)}^{2} \cdot - 1$

Этап 1.3.11.2

Перенесем $- 1$ влево от ${(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x - 1 \cdot {(x^{2} - 2)}^{2}$

Этап 1.3.11.3

Перепишем $- 1 {(x^{2} - 2)}^{2}$ в виде $- {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 \cdot 1 + 4 (- x)) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Этап 1.4.2

Умножим $4$ на $1$ .

$(4 + 4 (- x)) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Этап 1.4.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$(4 - 4 x) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Этап 1.4.4

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(4 - 4 x) (x^{2} - 2) x - {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(4 - 4 x) (x^{2} - 2) x$ .

$(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x) - {(x^{2} - 2)}^{2}$

Этап 1.4.4.2

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $- {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 2) (- (x^{2} - 2))$

Этап 1.4.4.3

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 2) (- (x^{2} - 2))$ .

$(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 2))$

Этап 1.4.5

Изменим порядок множителей в $(x^{2} - 2) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 2))$ .

$((4 - 4 x) x - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

Этап 1.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x - 4 x \cdot x - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

Этап 1.4.6.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.2.1

Перенесем $x$ .

$(4 x - 4 (x \cdot x) - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

Этап 1.4.6.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(4 x - 4 x^{2} - (x^{2} - 2)) (x^{2} - 2)$

Этап 1.4.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} - - 2) (x^{2} - 2)$

Этап 1.4.6.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} + 2) (x^{2} - 2)$

Этап 1.4.7

Вычтем $x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$(4 x - 5 x^{2} + 2) (x^{2} - 2)$

Этап 1.4.8

Развернем $(4 x - 5 x^{2} + 2) (x^{2} - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$4 x \cdot x^{2} + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Этап 1.4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.9.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.9.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Этап 1.4.9.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.9.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Этап 1.4.9.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{2 + 1} + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Этап 1.4.9.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$4 x^{3} + 4 x \cdot - 2 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Этап 1.4.9.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Этап 1.4.9.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.9.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 (x^{2} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Этап 1.4.9.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{2 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Этап 1.4.9.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} - 5 x^{2} \cdot - 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Этап 1.4.9.4

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2$

Этап 1.4.9.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x^{2} - 4$

Этап 1.4.10

Добавим $10 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 8 x - 5 x^{4} + 12 x^{2} - 4$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 2$ .

$4 {(2)}^{3} - 8 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 \cdot 8 - 8 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

Этап 1.6.1.2

Умножим $4$ на $8$ .

$32 - 8 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

Этап 1.6.1.3

Умножим $- 8$ на $2$ .

$32 - 16 - 5 {(2)}^{4} + 12 {(2)}^{2} - 4$

Этап 1.6.1.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$32 - 16 - 5 \cdot 16 + 12 {(2)}^{2} - 4$

Этап 1.6.1.5

Умножим $- 5$ на $16$ .

$32 - 16 - 80 + 12 {(2)}^{2} - 4$

Этап 1.6.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$32 - 16 - 80 + 12 \cdot 4 - 4$

Этап 1.6.1.7

Умножим $12$ на $4$ .

$32 - 16 - 80 + 48 - 4$

Этап 1.6.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Вычтем $16$ из $32$ .

$16 - 80 + 48 - 4$

Этап 1.6.2.2

Вычтем $80$ из $16$ .

$- 64 + 48 - 4$

Этап 1.6.2.3

Добавим $- 64$ и $48$ .

$- 16 - 4$

Этап 1.6.2.4

Вычтем $4$ из $- 16$ .

$- 20$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 20$ и координаты заданной точки $(2, - 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 4) = - 20 \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 4 = - 20 \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 20 \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 4 = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 4 = - 20 \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 4 = - 20 x - 20 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Умножим $- 20$ на $- 2$ .

$y + 4 = - 20 x + 40$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = - 20 x + 40 - 4$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $4$ из $40$ .

$y = - 20 x + 36$

Этап 3