Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x + x^{- \frac{1}{2}} + 1$ at the point $(4, \frac{35}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = \frac{35}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x + x^{- \frac{1}{2}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + 0$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$ и $0$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + 4$

Этап 1.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 4$

Этап 1.5.3.2

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2} + 4$

Этап 1.5.3.3

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4$

Этап 1.6

Найдем производную в $x = 4$ .

$- \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}} + 4$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 4$

Этап 1.7.1.1.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}} + 4$

Этап 1.7.1.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}} + 4$

Этап 1.7.1.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{3}} + 4$

Этап 1.7.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2^{1 + 3}} + 4$

Этап 1.7.1.1.4

Добавим $1$ и $3$ .

$- \frac{1}{2^{4}} + 4$

Этап 1.7.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$- \frac{1}{16} + 4$

Этап 1.7.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + 4 \cdot \frac{16}{16}$

Этап 1.7.3

Объединим $4$ и $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + \frac{4 \cdot 16}{16}$

Этап 1.7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 4 \cdot 16}{16}$

Этап 1.7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $4$ на $16$ .

$\frac{- 1 + 64}{16}$

Этап 1.7.5.2

Добавим $- 1$ и $64$ .

$\frac{63}{16}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{63}{16}$ и координаты заданной точки $(4, \frac{35}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{35}{2}) = \frac{63}{16} \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{63}{16} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{35}{2} = 0 + 0 + \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} x + \frac{63}{16} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{63}{16}$ и $x$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{16} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 (4)} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.6

Объединим $\frac{63}{4}$ и $- 1$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63 \cdot - 1}{4}$

Этап 2.3.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1

Умножим $63$ на $- 1$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63}{4}$

Этап 2.3.1.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{35}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35}{2}$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $\frac{35}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Умножим $\frac{35}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35 \cdot 2}{4}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63 + 35 \cdot 2}{4}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $35$ на $2$ .

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63 + 70}{4}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 63$ и $70$ .

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{7}{4}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{63}{16} x + \frac{7}{4}$

Этап 3