Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{8} x^{3}$ at $x = 3$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = \frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{8} \cdot 3^{3}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$

Этап 1.2.3

Упростим $\frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$y = \frac{1}{8} \cdot 27$

Этап 1.2.3.2

Объединим $\frac{1}{8}$ и $27$ .

$y = \frac{27}{8}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = \frac{27}{8}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{8} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{8} (3 x^{2})$

Этап 2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{8} x^{2}$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{3}{8}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{8}$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 3$ .

$\frac{3 {(3)}^{2}}{8}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\frac{3^{1} {(3)}^{2}}{8}$

Этап 2.5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3^{1 + 2}}{8}$

Этап 2.5.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3^{3}}{8}$

Этап 2.5.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{27}{8}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{27}{8}$ и координаты заданной точки $(3, \frac{27}{8})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{27}{8}) = \frac{27}{8} \cdot (x - (3))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{27}{8} \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{27}{8} = 0 + 0 + \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} x + \frac{27}{8} \cdot - 3$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{27}{8}$ и $x$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{27}{8} \cdot - 3$

Этап 3.3.1.5

Умножим $\frac{27}{8} \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Объединим $\frac{27}{8}$ и $- 3$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{27 \cdot - 3}{8}$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $27$ на $- 3$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{- 81}{8}$

Этап 3.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} - \frac{81}{8}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $\frac{27}{8}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{27 x}{8} - \frac{81}{8} + \frac{27}{8}$

Этап 3.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{27 x - 81 + 27}{8}$

Этап 3.3.2.3

Добавим $- 81$ и $27$ .

$y = \frac{27 x - 54}{8}$

Этап 3.3.2.4

Вынесем множитель $27$ из $27 x - 54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Вынесем множитель $27$ из $27 x$ .

$y = \frac{27 (x) - 54}{8}$

Этап 3.3.2.4.2

Вынесем множитель $27$ из $- 54$ .

$y = \frac{27 x + 27 \cdot - 2}{8}$

Этап 3.3.2.4.3

Вынесем множитель $27$ из $27 x + 27 \cdot - 2$ .

$y = \frac{27 (x - 2)}{8}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{27 x + 27 \cdot - 2}{8}$

Этап 3.3.3.2

Умножим $27$ на $- 2$ .

$y = \frac{27 x - 54}{8}$

Этап 3.3.3.3

Разобьем дробь $\frac{27 x - 54}{8}$ на две дроби.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{- 54}{8}$

Этап 3.3.3.4

Сократим общий множитель $- 54$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 54$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 (- 27)}{8}$

Этап 3.3.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 4}$

Этап 3.3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 4}$

Этап 3.3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{- 27}{4}$

Этап 3.3.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{27 x}{8} - \frac{27}{4}$

Этап 3.3.3.6

Изменим порядок членов.

$y = \frac{27}{8} x - \frac{27}{4}$

Этап 4